Los retos del Domenico

La fórmula de Herón

Herón de Alejandría
(Fuente: http://http.wikimedia.org)

Herón de Alejandría fue un matemático e ingeniero griego que vivió posiblemente en el siglo I. Aunque poco se sabe de su vida, si se tiene información sobre sus descubrimientos matemáticos. Muchos de sus escritos trataron de aplicaciones útiles como la mecánica, la ingeniería o las mediciones, ya que realizó cálculos para indicar cómo excavar túneles a través de las montañas o para determinar la cantidad de agua que mana de una fuente. Además, fue creador de un gran  número de máquinas sencillas y generalizó el principio de la palanca de Arquímedes.

 En el campo de la Geometría, su resultado más famoso es la conocida como fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados:

La demostración de Herón de esta fórmula utiliza elementos geométricos sencillos para llegar al sorprendente resultado y la podemos encontrar en el maravilloso libro de William Dunham Viaje a través de los Genios.  Es famosa también la demostración de Euler de esta fórmula. Ambas demostraciones se pueden encontrar en el siguiente enlace:

Problemas famosos de Geometría

Realicemos aquí una demostración más moderna utilizando  trigonometría:

• Por un lado sabemos que el área del triángulo es:

• Por otro lado, por el Teorema del Coseno:

• Sabemos también que 

• Por lo que 

• Observemos ahora que el numerador anterior es una diferencia de cuadrados, por lo que:

• Ahora sólo hay que darse cuenta de que: 

• Por último, sólo tenemos que sustituir en la fórmula del área:

• Basta simplificar e introducir el 4 en la raíz para obtener la siguiente expresión:

   

• Dado que 

• Entonces concluimos con la fórmula:

Tal como queríamos demostrar.

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Supongamos ahora que el triángulo de lados a, b y c  es rectángulo. Calcula la superficie de este triángulo aplicando la fórmula de Herón y la clásica fórmula de base por altura partido por 2. Igualando ambas expresiones, ¿eres capaz de llegar al Teorema de Pitágoras?

Sobre la regla de Cramer

Gabriel Cramer
(Fuente: http://es.wikipedia.org)

La regla de Cramer es un resultado que nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Recibe su nombre del matemático suizo del siglo XVIII Gabriel Cramer, que publicó esta regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque parece ser que  Colin Maclaurin también publicó este resultado en su Treatise of Geometry de 1748.

Recordemos que dice la regla de Cramer:

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, que matricialmente escribiremos como:

Si el determinante de la matriz A es distinto de cero, el sistema será compatible determinado y el valor de cada incógnita lo obtenemos haciendo un cociente de determinantes:

siendo

Veamos un ejemplo geométrico donde aplicar este resultado:

Consideremos un triángulo acutángulo ABC en el que trazamos las alturas correspondientes a cada lado. Los pies de estas alturas dividen cada lado en dos segmentos cuyas longitudes podemos determinar utilizando trigonometría elemental, tal como se puede observar en la siguiente figura:

De este modo llegamos a que: 

que no es otra cosa que un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los cosenos de los ángulos del triángulo y en el que el determinante de la matriz de coeficientes es:

y el valor de cada incógnita lo obtenemos aplicando la regla de Cramer:

Sólo nos queda despejar para obtener el conocido como Teorema del coseno:

¿Qué ocurre si el triángulo es obtusángulo? Resuelve el sistema de ecuaciones al que se llega en este caso

Riemann y sus sumas

Bernhard Riemann
(Fuente: http://es.wikipedia.org)

Bernhard Riemann fue uno de los matemáticos más relevantes del siglo XIX. Nació en Breselenz, perteneciente a la actual Alemania, en 1826, y murió en 1866 en Italia. En su corta vida contribuyó a múltiples ramas de las matemáticas. Una de las aportaciones más importantes es la conocida como hipótesis de Riemann, uno de los problemas abiertos más importantes de la matemática moderna. Este problema tiene que ver con la distribución de los números primos

También introdujo una geometría basada en unos axiomas distintos a los de Euclides. Posterirmente, Einstein demostró, en virtud de su modelo de espacio-tiempo relativista, que la geometría de Riemann ofrece una representación más exacta del universo que la de Euclides.

Veamos un ejemplo interactivo de la llamada integral de Riemann y las llamadas sumas superiores y sumas inferiores:

Consideremos la función f(x)=x²-x. Vamos a obtener su integral en el intervalo [1,2]. Para ello dividimos este intervalo en n pequeños intervalos de longitud 1/n. 

Una vez realizada esta división (o partición) , se define la suma superior como a la suma de las áreas de los rectángulos superiores o circunscritos a la gráfica (rectángulos cuya base corresponde a cada uno de estos pequeños intervalos y cuya altura es el valor máximo de la función en él), mientras que la suma inferior será a la suma de las áreas de los rectángulos inferiores o inscritos a la gráfica (rectángulos cuya base volverá a corresponder a cada uno de estos pequeños intervalos y cuya altura es el valor mínimo de la función en él)

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Jose Mª Lorenzo, Creación realizada con GeoGebra

Observa que cuando el valor de n aumenta el valor de estas sumas va convergiendo a la integral de la función en el intervalo [1,2].

Lagrange y el Teorema del Valor Medio

Joseph-Louis de Lagrange
(Fuente: http://es.wikipedia.org) 

Uno de los teoremas básicos del Análisis Matemático es el llamado Teorema del Valor Medio, demostrado por el matemático, físico y astrónomo italiano Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813).

Lagrange fue uno de los matemáticos más relevantes y prolíficos de su época. En su Turín natal fundó la Academia Turinesa de las Ciencias, donde realizó sus primeros trabajos, posteriormente trabajó en la corte real de Prusia, para terminar sus últimos años trabajando en el París de Luis XVI.



El Teorema del Valor Medio es considerado uno de los teoremas fundamentales del cálculo diferencial y, aunque no nos sirve para resolver problemas concretos, es muy útil para demostrar otros resultados del análisis matemático:

Enunciemos el teorema:

Este resultado nos dice que la tasa de variación media de una función en un intervalo ha de coincidir al menos una vez con la tasa de variación instantánea. La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:

Veamos esta interpretación geométrica con un ejemplo realizado con Geogebra: Consideremos la función f(x)=x³-4x. Variando los extremos del intervalo [a,b] podremos encontrar el punto C al que hace referencia el teorema y comprobar que en ese punto la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B.

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En el siguiente problema se propone aplicar este teorema para demostrar que la policía tiene argumentos para poner una multa de tráfico:

A las dos de la tarde un coche pasa, a una velocidad de 70 km/h, por el punto kilométrico 20 de la autovía A-4. Diez minutos después pasa, circulando a una velocidad de 80 km/h, por el punto kilométrico 25 de dicha autovía. Le para la policía y le pone una multa. Sabiendo que la velocidad máxima permitida es de 120 km/h, argumentar si la policía tenía o no razón. 

La regla de Bayes y el problema de Monty Hall

Thomas Bayes
(Fuente: http://en.wikipedia.org/)

El Teorema de Bayes es un resultado que nos permite calcular probabilidades condicionadas. Este resultado fue descubierto por el matemático ingles Thomas Bayes (1702-1761), discípulo de De Moivre, quien le introdujo en la  Teoría de las Probabilidades. Bayes estudió lógica y teología, de hecho terminó convirtiendo en reverendo de la iglesia presbiteriana.

Sus estudios se centraron en determinar la probabilidad de las causas a través de los efectos observados.

Enunciemos el Teorema de Bayes:

Una aplicación curiosa de este teorema es el conocido como problema de Monty Hall. Su origen se remonta a los años 70’s en Estados Unidos, donde un concurso televisivo conocido como Let’s make a deal (Hagamos un trato) se hizo popular. En este programa, un señor muy elegante llamado Monty Hall, le ofrecía a los jugadores que llegaban hasta la etapa final del concurso la posibilidad de elegir una entre varias cajas cerradas en cuyo interior se escondían tarjetas con los nombres de distintos premios de diferente valor económico (joyas, pasajes para viajes, electrodomésticos, muebles, utensilios de cocina, ropa, etc.). Monty Hall, conocedor de lo qué había en cada caja, siempre trataba de influir psicológicamente en la decisión que debía tomar el jugador para confundirlo e inducirlo a elegir una caja que contenía la tarjeta de un premio de muy bajo valor.

Una versión de este problema aparecía en la serie televisiva Numb3rs:

En la siguiente presentación prezi tenemos una solución del problema utilizando el Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes es la base de la llamada Inferencia Bayesiana. Un ejemplo de como se consigue información acerca del comportamiento de una población a través de una muestra podría ser el siguiente problema que se propone resolver:

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas, blancas o negras, pero no sabemos cuantas hay de cada clase. Extraemos una bola de esta urna y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna hubiese 3 bolas blancas?, ¿y de que hubiese 2 bolas blancas?, ¿y de que hubiese una sola bola blanca?

Acerca de la regla de L'Hôpital

G. F. A.  de L'Hôpital
(fuente: http://www.learn-math.info)

 Guillaume François Antoine, marqués de L'Hôpital  (1661 - 1704) fue un aristócrata y matemático francés que ha pasado a la historia gracias a la conocida como regla de L'Hôpital, que nos permite calcular límites cuando se produce la indeterminación 0/0. 

L'Hôpital tuvo como maestro a Jean (Johann) Bernoulli, quien le enseñó las técnicas del cálculo de Leibniz. Bernoulli firmó un pacto con  L'Hôpital según el cual, a cambio de un salario regular, se comprometía a enviarle al marqués sus descubrimientos matemáticos, para que este los utilizase a su antojo. Uno de esos descubrimientos fue esta famosa regla, la cual fue incorporada por  L'Hôpital en el primer texto impreso sobre cálculo diferencial, titulado Alalyse des infiniment petits, publicado en París en 1969.

Enunciemos la famosa regla de  L'Hôpital:

En los siguientes vídeos, extraídos de lasmatemáticas.es,  tenemos un par de ejemplos de cálculos de límites mediante de esta regla:

La pregunta que nos hacemos ahora es si esta regla de L'Hôpital es la "panacea" y nos sirve siempre para resolver estas determinaciones, por ejemplo, ¿podemos aplicarla para resolver el siguiente límite?