La fórmula de Herón

Herón de Alejandría
(Fuente: http://http.wikimedia.org)

Herón de Alejandría fue un matemático e ingeniero griego que vivió posiblemente en el siglo I. Aunque poco se sabe de su vida, si se tiene información sobre sus descubrimientos matemáticos. Muchos de sus escritos trataron de aplicaciones útiles como la mecánica, la ingeniería o las mediciones, ya que realizó cálculos para indicar cómo excavar túneles a través de las montañas o para determinar la cantidad de agua que mana de una fuente. Además, fue creador de un gran  número de máquinas sencillas y generalizó el principio de la palanca de Arquímedes.

 En el campo de la Geometría, su resultado más famoso es la conocida como fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados:

La demostración de Herón de esta fórmula utiliza elementos geométricos sencillos para llegar al sorprendente resultado y la podemos encontrar en el maravilloso libro de William Dunham Viaje a través de los Genios.  Es famosa también la demostración de Euler de esta fórmula. Ambas demostraciones se pueden encontrar en el siguiente enlace:

Problemas famosos de Geometría

Realicemos aquí una demostración más moderna utilizando  trigonometría:

• Por un lado sabemos que el área del triángulo es:

• Por otro lado, por el Teorema del Coseno:

• Sabemos también que 

• Por lo que 

• Observemos ahora que el numerador anterior es una diferencia de cuadrados, por lo que:

• Ahora sólo hay que darse cuenta de que: 

• Por último, sólo tenemos que sustituir en la fórmula del área:

• Basta simplificar e introducir el 4 en la raíz para obtener la siguiente expresión:

   

• Dado que 

• Entonces concluimos con la fórmula:

Tal como queríamos demostrar.

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Supongamos ahora que el triángulo de lados a, b y c  es rectángulo. Calcula la superficie de este triángulo aplicando la fórmula de Herón y la clásica fórmula de base por altura partido por 2. Igualando ambas expresiones, ¿eres capaz de llegar al Teorema de Pitágoras?

Sobre la regla de Cramer

Gabriel Cramer
(Fuente: http://es.wikipedia.org)

La regla de Cramer es un resultado que nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Recibe su nombre del matemático suizo del siglo XVIII Gabriel Cramer, que publicó esta regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque parece ser que  Colin Maclaurin también publicó este resultado en su Treatise of Geometry de 1748.

Recordemos que dice la regla de Cramer:

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, que matricialmente escribiremos como:

Si el determinante de la matriz A es distinto de cero, el sistema será compatible determinado y el valor de cada incógnita lo obtenemos haciendo un cociente de determinantes:

siendo

Veamos un ejemplo geométrico donde aplicar este resultado:

Consideremos un triángulo acutángulo ABC en el que trazamos las alturas correspondientes a cada lado. Los pies de estas alturas dividen cada lado en dos segmentos cuyas longitudes podemos determinar utilizando trigonometría elemental, tal como se puede observar en la siguiente figura:

De este modo llegamos a que: 

que no es otra cosa que un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los cosenos de los ángulos del triángulo y en el que el determinante de la matriz de coeficientes es:

y el valor de cada incógnita lo obtenemos aplicando la regla de Cramer:

Sólo nos queda despejar para obtener el conocido como Teorema del coseno:

¿Qué ocurre si el triángulo es obtusángulo? Resuelve el sistema de ecuaciones al que se llega en este caso