Sobre la regla de Cramer

Gabriel Cramer
(Fuente: http://es.wikipedia.org)

La regla de Cramer es un resultado que nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Recibe su nombre del matemático suizo del siglo XVIII Gabriel Cramer, que publicó esta regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque parece ser que  Colin Maclaurin también publicó este resultado en su Treatise of Geometry de 1748.

Recordemos que dice la regla de Cramer:

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, que matricialmente escribiremos como:

Si el determinante de la matriz A es distinto de cero, el sistema será compatible determinado y el valor de cada incógnita lo obtenemos haciendo un cociente de determinantes:

siendo

Veamos un ejemplo geométrico donde aplicar este resultado:

Consideremos un triángulo acutángulo ABC en el que trazamos las alturas correspondientes a cada lado. Los pies de estas alturas dividen cada lado en dos segmentos cuyas longitudes podemos determinar utilizando trigonometría elemental, tal como se puede observar en la siguiente figura:

De este modo llegamos a que: 

que no es otra cosa que un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los cosenos de los ángulos del triángulo y en el que el determinante de la matriz de coeficientes es:

y el valor de cada incógnita lo obtenemos aplicando la regla de Cramer:

Sólo nos queda despejar para obtener el conocido como Teorema del coseno:

¿Qué ocurre si el triángulo es obtusángulo? Resuelve el sistema de ecuaciones al que se llega en este caso