Lagrange y el Teorema del Valor Medio

Joseph-Louis de Lagrange
(Fuente: http://es.wikipedia.org) 

Uno de los teoremas básicos del Análisis Matemático es el llamado Teorema del Valor Medio, demostrado por el matemático, físico y astrónomo italiano Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813).

Lagrange fue uno de los matemáticos más relevantes y prolíficos de su época. En su Turín natal fundó la Academia Turinesa de las Ciencias, donde realizó sus primeros trabajos, posteriormente trabajó en la corte real de Prusia, para terminar sus últimos años trabajando en el París de Luis XVI.



El Teorema del Valor Medio es considerado uno de los teoremas fundamentales del cálculo diferencial y, aunque no nos sirve para resolver problemas concretos, es muy útil para demostrar otros resultados del análisis matemático:

Enunciemos el teorema:

Este resultado nos dice que la tasa de variación media de una función en un intervalo ha de coincidir al menos una vez con la tasa de variación instantánea. La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:

Veamos esta interpretación geométrica con un ejemplo realizado con Geogebra: Consideremos la función f(x)=x³-4x. Variando los extremos del intervalo [a,b] podremos encontrar el punto C al que hace referencia el teorema y comprobar que en ese punto la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B.

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En el siguiente problema se propone aplicar este teorema para demostrar que la policía tiene argumentos para poner una multa de tráfico:

A las dos de la tarde un coche pasa, a una velocidad de 70 km/h, por el punto kilométrico 20 de la autovía A-4. Diez minutos después pasa, circulando a una velocidad de 80 km/h, por el punto kilométrico 25 de dicha autovía. Le para la policía y le pone una multa. Sabiendo que la velocidad máxima permitida es de 120 km/h, argumentar si la policía tenía o no razón. 

La regla de Bayes y el problema de Monty Hall

Thomas Bayes
(Fuente: http://en.wikipedia.org/)

El Teorema de Bayes es un resultado que nos permite calcular probabilidades condicionadas. Este resultado fue descubierto por el matemático ingles Thomas Bayes (1702-1761), discípulo de De Moivre, quien le introdujo en la  Teoría de las Probabilidades. Bayes estudió lógica y teología, de hecho terminó convirtiendo en reverendo de la iglesia presbiteriana.

Sus estudios se centraron en determinar la probabilidad de las causas a través de los efectos observados.

Enunciemos el Teorema de Bayes:

Una aplicación curiosa de este teorema es el conocido como problema de Monty Hall. Su origen se remonta a los años 70’s en Estados Unidos, donde un concurso televisivo conocido como Let’s make a deal (Hagamos un trato) se hizo popular. En este programa, un señor muy elegante llamado Monty Hall, le ofrecía a los jugadores que llegaban hasta la etapa final del concurso la posibilidad de elegir una entre varias cajas cerradas en cuyo interior se escondían tarjetas con los nombres de distintos premios de diferente valor económico (joyas, pasajes para viajes, electrodomésticos, muebles, utensilios de cocina, ropa, etc.). Monty Hall, conocedor de lo qué había en cada caja, siempre trataba de influir psicológicamente en la decisión que debía tomar el jugador para confundirlo e inducirlo a elegir una caja que contenía la tarjeta de un premio de muy bajo valor.

Una versión de este problema aparecía en la serie televisiva Numb3rs:

En la siguiente presentación prezi tenemos una solución del problema utilizando el Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes es la base de la llamada Inferencia Bayesiana. Un ejemplo de como se consigue información acerca del comportamiento de una población a través de una muestra podría ser el siguiente problema que se propone resolver:

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas, blancas o negras, pero no sabemos cuantas hay de cada clase. Extraemos una bola de esta urna y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna hubiese 3 bolas blancas?, ¿y de que hubiese 2 bolas blancas?, ¿y de que hubiese una sola bola blanca?

Acerca de la regla de L'Hôpital

G. F. A.  de L'Hôpital
(fuente: http://www.learn-math.info)

 Guillaume François Antoine, marqués de L'Hôpital  (1661 - 1704) fue un aristócrata y matemático francés que ha pasado a la historia gracias a la conocida como regla de L'Hôpital, que nos permite calcular límites cuando se produce la indeterminación 0/0. 

L'Hôpital tuvo como maestro a Jean (Johann) Bernoulli, quien le enseñó las técnicas del cálculo de Leibniz. Bernoulli firmó un pacto con  L'Hôpital según el cual, a cambio de un salario regular, se comprometía a enviarle al marqués sus descubrimientos matemáticos, para que este los utilizase a su antojo. Uno de esos descubrimientos fue esta famosa regla, la cual fue incorporada por  L'Hôpital en el primer texto impreso sobre cálculo diferencial, titulado Alalyse des infiniment petits, publicado en París en 1969.

Enunciemos la famosa regla de  L'Hôpital:

En los siguientes vídeos, extraídos de lasmatemáticas.es,  tenemos un par de ejemplos de cálculos de límites mediante de esta regla:

La pregunta que nos hacemos ahora es si esta regla de L'Hôpital es la "panacea" y nos sirve siempre para resolver estas determinaciones, por ejemplo, ¿podemos aplicarla para resolver el siguiente límite?