Riemann y sus sumas

Bernhard Riemann
(Fuente: http://es.wikipedia.org)

Bernhard Riemann fue uno de los matemáticos más relevantes del siglo XIX. Nació en Breselenz, perteneciente a la actual Alemania, en 1826, y murió en 1866 en Italia. En su corta vida contribuyó a múltiples ramas de las matemáticas. Una de las aportaciones más importantes es la conocida como hipótesis de Riemann, uno de los problemas abiertos más importantes de la matemática moderna. Este problema tiene que ver con la distribución de los números primos

También introdujo una geometría basada en unos axiomas distintos a los de Euclides. Posterirmente, Einstein demostró, en virtud de su modelo de espacio-tiempo relativista, que la geometría de Riemann ofrece una representación más exacta del universo que la de Euclides.

Veamos un ejemplo interactivo de la llamada integral de Riemann y las llamadas sumas superiores y sumas inferiores:

Consideremos la función f(x)=x²-x. Vamos a obtener su integral en el intervalo [1,2]. Para ello dividimos este intervalo en n pequeños intervalos de longitud 1/n. 

Una vez realizada esta división (o partición) , se define la suma superior como a la suma de las áreas de los rectángulos superiores o circunscritos a la gráfica (rectángulos cuya base corresponde a cada uno de estos pequeños intervalos y cuya altura es el valor máximo de la función en él), mientras que la suma inferior será a la suma de las áreas de los rectángulos inferiores o inscritos a la gráfica (rectángulos cuya base volverá a corresponder a cada uno de estos pequeños intervalos y cuya altura es el valor mínimo de la función en él)

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Jose Mª Lorenzo, Creación realizada con GeoGebra

Observa que cuando el valor de n aumenta el valor de estas sumas va convergiendo a la integral de la función en el intervalo [1,2].

Lagrange y el Teorema del Valor Medio

Joseph-Louis de Lagrange
(Fuente: http://es.wikipedia.org) 

Uno de los teoremas básicos del Análisis Matemático es el llamado Teorema del Valor Medio, demostrado por el matemático, físico y astrónomo italiano Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813).

Lagrange fue uno de los matemáticos más relevantes y prolíficos de su época. En su Turín natal fundó la Academia Turinesa de las Ciencias, donde realizó sus primeros trabajos, posteriormente trabajó en la corte real de Prusia, para terminar sus últimos años trabajando en el París de Luis XVI.



El Teorema del Valor Medio es considerado uno de los teoremas fundamentales del cálculo diferencial y, aunque no nos sirve para resolver problemas concretos, es muy útil para demostrar otros resultados del análisis matemático:

Enunciemos el teorema:

Este resultado nos dice que la tasa de variación media de una función en un intervalo ha de coincidir al menos una vez con la tasa de variación instantánea. La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:

Veamos esta interpretación geométrica con un ejemplo realizado con Geogebra: Consideremos la función f(x)=x³-4x. Variando los extremos del intervalo [a,b] podremos encontrar el punto C al que hace referencia el teorema y comprobar que en ese punto la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B.

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En el siguiente problema se propone aplicar este teorema para demostrar que la policía tiene argumentos para poner una multa de tráfico:

A las dos de la tarde un coche pasa, a una velocidad de 70 km/h, por el punto kilométrico 20 de la autovía A-4. Diez minutos después pasa, circulando a una velocidad de 80 km/h, por el punto kilométrico 25 de dicha autovía. Le para la policía y le pone una multa. Sabiendo que la velocidad máxima permitida es de 120 km/h, argumentar si la policía tenía o no razón. 

Acerca de la regla de L'Hôpital

G. F. A.  de L'Hôpital
(fuente: http://www.learn-math.info)

 Guillaume François Antoine, marqués de L'Hôpital  (1661 - 1704) fue un aristócrata y matemático francés que ha pasado a la historia gracias a la conocida como regla de L'Hôpital, que nos permite calcular límites cuando se produce la indeterminación 0/0. 

L'Hôpital tuvo como maestro a Jean (Johann) Bernoulli, quien le enseñó las técnicas del cálculo de Leibniz. Bernoulli firmó un pacto con  L'Hôpital según el cual, a cambio de un salario regular, se comprometía a enviarle al marqués sus descubrimientos matemáticos, para que este los utilizase a su antojo. Uno de esos descubrimientos fue esta famosa regla, la cual fue incorporada por  L'Hôpital en el primer texto impreso sobre cálculo diferencial, titulado Alalyse des infiniment petits, publicado en París en 1969.

Enunciemos la famosa regla de  L'Hôpital:

En los siguientes vídeos, extraídos de lasmatemáticas.es,  tenemos un par de ejemplos de cálculos de límites mediante de esta regla:

La pregunta que nos hacemos ahora es si esta regla de L'Hôpital es la "panacea" y nos sirve siempre para resolver estas determinaciones, por ejemplo, ¿podemos aplicarla para resolver el siguiente límite?