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| Joseph-Louis de Lagrange (Fuente: http://es.wikipedia.org) |
Uno de los teoremas básicos del Análisis Matemático es el llamado Teorema del Valor Medio, demostrado por el matemático, físico y astrónomo italiano Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813).
Lagrange fue uno de los matemáticos más relevantes y prolíficos de su época. En su Turín natal fundó la Academia Turinesa de las Ciencias, donde realizó sus primeros trabajos, posteriormente trabajó en la corte real de Prusia, para terminar sus últimos años trabajando en el París de Luis XVI.
El Teorema del Valor Medio es considerado uno de los teoremas fundamentales del cálculo diferencial y, aunque no nos sirve para resolver problemas concretos, es muy útil para demostrar otros resultados del análisis matemático:
Enunciemos el teorema:
Este resultado nos dice que la tasa de variación media de una función en un intervalo ha de coincidir al menos una vez con la tasa de variación instantánea. La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:
Veamos esta interpretación geométrica con un ejemplo realizado con Geogebra: Consideremos la función f(x)=x³-4x. Variando los extremos del intervalo [a,b] podremos encontrar el punto C al que hace referencia el teorema y comprobar que en ese punto la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B.
El Teorema del Valor Medio es considerado uno de los teoremas fundamentales del cálculo diferencial y, aunque no nos sirve para resolver problemas concretos, es muy útil para demostrar otros resultados del análisis matemático:
Enunciemos el teorema:
Este resultado nos dice que la tasa de variación media de una función en un intervalo ha de coincidir al menos una vez con la tasa de variación instantánea. La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:
Veamos esta interpretación geométrica con un ejemplo realizado con Geogebra: Consideremos la función f(x)=x³-4x. Variando los extremos del intervalo [a,b] podremos encontrar el punto C al que hace referencia el teorema y comprobar que en ese punto la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B.
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Creación realizada con GeoGebra |
En el siguiente problema se propone aplicar este teorema para demostrar que la policía tiene argumentos para poner una multa de tráfico:
A las dos de la tarde un coche pasa, a una velocidad de 70 km/h, por el punto kilométrico 20 de
la autovía A-4. Diez minutos después pasa, circulando a una velocidad de 80 km/h, por el punto
kilométrico 25 de dicha autovía. Le para la policía y le pone una multa. Sabiendo que la velocidad
máxima permitida es de 120 km/h, argumentar si la policía tenía o no razón.
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