La regla de Bayes y el problema de Monty Hall

Thomas Bayes
(Fuente: http://en.wikipedia.org/)

El Teorema de Bayes es un resultado que nos permite calcular probabilidades condicionadas. Este resultado fue descubierto por el matemático ingles Thomas Bayes (1702-1761), discípulo de De Moivre, quien le introdujo en la  Teoría de las Probabilidades. Bayes estudió lógica y teología, de hecho terminó convirtiendo en reverendo de la iglesia presbiteriana.

Sus estudios se centraron en determinar la probabilidad de las causas a través de los efectos observados.

Enunciemos el Teorema de Bayes:

Una aplicación curiosa de este teorema es el conocido como problema de Monty Hall. Su origen se remonta a los años 70’s en Estados Unidos, donde un concurso televisivo conocido como Let’s make a deal (Hagamos un trato) se hizo popular. En este programa, un señor muy elegante llamado Monty Hall, le ofrecía a los jugadores que llegaban hasta la etapa final del concurso la posibilidad de elegir una entre varias cajas cerradas en cuyo interior se escondían tarjetas con los nombres de distintos premios de diferente valor económico (joyas, pasajes para viajes, electrodomésticos, muebles, utensilios de cocina, ropa, etc.). Monty Hall, conocedor de lo qué había en cada caja, siempre trataba de influir psicológicamente en la decisión que debía tomar el jugador para confundirlo e inducirlo a elegir una caja que contenía la tarjeta de un premio de muy bajo valor.

Una versión de este problema aparecía en la serie televisiva Numb3rs:

En la siguiente presentación prezi tenemos una solución del problema utilizando el Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes es la base de la llamada Inferencia Bayesiana. Un ejemplo de como se consigue información acerca del comportamiento de una población a través de una muestra podría ser el siguiente problema que se propone resolver:

Supongamos que tenemos una urna con 3 bolas, blancas o negras, pero no sabemos cuantas hay de cada clase. Extraemos una bola de esta urna y resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna hubiese 3 bolas blancas?, ¿y de que hubiese 2 bolas blancas?, ¿y de que hubiese una sola bola blanca?