Matemáticas en el Scarlatti!!: La fórmula de Herón

Herón de Alejandría
(Fuente: http://http.wikimedia.org)

Herón de Alejandría fue un matemático e ingeniero griego que vivió posiblemente en el siglo I. Aunque poco se sabe de su vida, si se tiene información sobre sus descubrimientos matemáticos. Muchos de sus escritos trataron de aplicaciones útiles como la mecánica, la ingeniería o las mediciones, ya que realizó cálculos para indicar cómo excavar túneles a través de las montañas o para determinar la cantidad de agua que mana de una fuente. Además, fue creador de un gran número de máquinas sencillas y generalizó el principio de la palanca de Arquímedes.

En el campo de la Geometría, su resultado más famoso es la conocida como fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados:

$\mbox{ \bf F\'ormula de Her\'on:} \mbox{ la superficie de un tri\'angulo de lados } \\ \mbox{ } \hspace{4 ex} a, b \mbox{ y } c \mbox{ es: } \\ \mbox{ } \hspace{15 ex} S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ \\ \mbox{ } \hspace{4 ex} \mbox{siendo } p \mbox{ el semiper\'{\i}metro del tri\'angulo, es decir:} \\ \\ \mbox{ } \hspace{15 ex} p=\frac{a+b+c}{2}$

La demostración de Herón de esta fórmula utiliza elementos geométricos sencillos para llegar al sorprendente resultado y la podemos encontrar en el maravilloso libro de William Dunham Viaje a través de los Genios. Es famosa también la demostración de Euler de esta fórmula. Ambas demostraciones se pueden encontrar en el siguiente enlace:

Problemas famosos de Geometría

Realicemos aquí una demostración más moderna utilizando trigonometría:

Por un lado sabemos que el área del triángulo es:

$S= \frac{a \cdot b \cdot \mbox{sen} C}{2}$

Por otro lado, por el Teorema del Coseno:

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Sabemos también que

$\mbox{sen}C = \sqrt{1 - \cos^2 C}$

Por lo que

$\mbox{sen}C = \sqrt{1 - \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )^2}=\sqrt{\frac{4a^2b^2 -(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}$

Observemos ahora que el numerador anterior es una diferencia de cuadrados, por lo que:

$\mbox{sen}C = \frac{\sqrt{[2ab +(a^2+b^2-c^2)] \cdot [2ab -(a^2+b^2-c^2)]}}{2ab}$

Ahora sólo hay que darse cuenta de que:

$2ab +(a^2+b^2-c^2) = (a+b)^2-c^2 =(a+b+c)(a+b-c)\\ \\ \mbox{ } \hspace{3 ex} 2ab -(a^2+b^2-c^2) = c^2- (a-b)^2 = (c+a-b)(c-a+b)$

Por último, sólo tenemos que sustituir en la fórmula del área:

$S = \frac{a b \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) }}{4 ab }$

Basta simplificar e introducir el 4 en la raíz para obtener la siguiente expresión:

$S = \sqrt{ \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} \cdot \frac{c+a-b}{2} \cdot \frac{c-a+b}{2} }$

Dado que

$\frac{a+b+c}{2} = p \quad, \quad \frac{a+b-c}{2} = p-c \\ \\ \mbox{ } \hspace{2 ex}\frac{c+a-b}{2} =p-b\quad, \quad \frac{c-a+b}{2} =p-a$

Entonces concluimos con la fórmula:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Tal como queríamos demostrar.

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Supongamos ahora que el triángulo de lados a, b y c es rectángulo. Calcula la superficie de este triángulo aplicando la fórmula de Herón y la clásica fórmula de base por altura partido por 2. Igualando ambas expresiones, ¿eres capaz de llegar al Teorema de Pitágoras?

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jueves, 18 de abril de 2013

La fórmula de Herón

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